Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x²+x-1）e^x（x∈R）．
（1）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，f′（1）=4e，直線斜率為4e，且過點（1，e），利用點斜式方程，求得切線方程；
（2）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²+x-1）e^x，（x∈R）
∴f′（x）=（x²+3x）e^x，
∴f（1）=e，f′（1）=4e，
∴曲線f（x）在（1，f（1））處的切線的方程為y-e=4e（x-1），
即4ex-y-3e=0；
（2）由（1）知f′（x）=（x²+3x）e^x，
令f′（x）=0，解得：x=-3或x=0，
令f′（x）＞0，解得：x＜-3或x＞0；函數(shù)單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得-3＜x＜0，函數(shù)單調(diào)遞遞減．

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

當(dāng)x=-3時取極大值，極大值為5e^-3，當(dāng)x=0取極小值為-1．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)法求曲線的切線方程及利用函數(shù)的單調(diào)性求極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．