Question

設(shè)f(x)＝ex－1.當(dāng)a＞ln 2－1且x＞0時(shí)，證明：f(x)＞x2－2ax.

Answer 1

證明：欲證f(x) ＞x2－2ax，即ex－1 ＞x2－2ax，

也就是ex－x2＋2ax－1＞0.

可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，則u′(x)＝ex－2x＋2a.

令h(x)＝ex－2x＋2a，則h′(x)＝ex－2.

當(dāng)x∈(－∞，ln 2)時(shí)，h′(x)＜0，函數(shù)h(x)在(－∞，ln 2]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(ln 2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)在[ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增．

所以h(x)的最小值為h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a

＝2－2ln 2＋2a.

因?yàn)閍＞ln 2－1，所以h(ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(ln 2)＞0.

所以u(píng)′(x)＝h(x)＞0，即u(x)在R上為增函數(shù)．

故u(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．所以u(píng)(x)＞u(0)．

而u(0)＝0，所以u(píng)(x)＝ex－x2＋2ax－1＞0.

即當(dāng)a＞ln 2－1且x＞0時(shí)，f(x)＞x2－2ax.