Question

20．點(diǎn)P是曲線y=x²-ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出平行于直線y=x-2且與曲線y=x²-lnx相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x，y），則y′=2x-$\frac{1}{x}$（x＞0）
令2x-$\frac{1}{x}$=1，則（x-1）（2x+1）=0，
∵x＞0，∴x=1
∴y=1，即平行于直線y=x-2且與曲線y=x²-lnx相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）
由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．