Question

已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)F(0，－)，且與直線(xiàn)l相切，橢圓N的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)是F，點(diǎn)A(1，)在橢圓N上．

(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程和橢圓N的方程；

(2)已知與軌跡M在x＝－4處的切線(xiàn)平行的直線(xiàn)與橢圓N交于B、C兩點(diǎn)，試探求使△ABC面積等于的直線(xiàn)l是否存在？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)由題意知：點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0，－)和直線(xiàn)y＝的距離相等，故P的軌跡M是以F為焦點(diǎn)，y＝為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．

∴＝，∴p＝2

∴軌跡M的方程為：x²＝－4y

又由題意：可設(shè)橢圓方程為：＋＝1(a>b>0)

∴2a＝＝4

∴a＝2，又c＝，∴b＝，

∴橢圓N的方程為＋＝1.

(2)不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l.

理由如下：若存在這樣的直線(xiàn)l，

∵軌跡M為拋物線(xiàn)x²＝－4y，它在x＝－4處的切線(xiàn)斜率為k＝.

故可設(shè)l的方程為：y＝x＋m，

聯(lián)立消去y整理得，4x²＋2mx＋m²－4＝0

∴Δ＝(2m)²－16(m²－4)>0，∴m²<8且m≠0，

設(shè)B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝－m，x₁x₂＝，

由兩點(diǎn)間的距離公式可求得|BC|＝

又點(diǎn)A到l距離d＝∴m⁴－8m²＋18＝0，顯然此方程無(wú)解，即m不存在，

故這樣的直線(xiàn)l不存在．