Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在x=4處的切線的斜率為

3

2

，若函數(shù)g（x）=

1

3

x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數(shù)f′（x），利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分情況討論即可．
（2）由切線斜率為

3

2

，可求出a值，進而求出f（x）、f′（x），因為g（x）在區(qū)間（1，3）上不單調(diào)，所以g′（x）改變符號，從而得到m所滿足的條件．

解答：解�。�1）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
①當a＞0時，若x∈（0，1），則f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），則f′（x）＜0，
∴當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞）；
②當a＜0時，若x∈（1，+∞），則f′（x）＞0；若x∈（0，1），則f′（x）＜0，
∴當a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]；
③當a=0時，f（x）=-3，f（x）不是單調(diào)函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間．
（2）由題意知，f′（4）=-

3a

4

=

3

2

，得a=-2，則f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=

1

3

x3+x2(2-

2

x

+

m

2

)=

1

3

x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2＜0，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

，即

1+(m+4)-2＜0 32+3(m+4)-2＞0

解得-

19

3

＜m＜-3．
故m的取值范圍是（-

19

3

，-3）．

點評：本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導數(shù)解決問題的能力，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．