Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-ex+a

ex+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值，并判斷f（x）在R上的單調性（不需證明）；
（2）若對任意的t∈[-1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由奇函數(shù)的定義得f（1）=-f（-1），代入解析式求出a的值，結合指數(shù)函數(shù)的單調性，可判斷f（x）在R上的單調性；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義將不等式化為：f（t²-2t）＜f（-2t²+k），再分離函數(shù)解析式，利用指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的單調性判斷出此函數(shù)的單調性，再列出關于x的不等式，由題意轉化為：3t²-2t-k＞0恒成立，利用二次函數(shù)的性質列出等價不等式求解．

解答： 解：（1）∵定義域為R的奇函數(shù)圖象必過原點，
故f（0）=

-1+a

1+1

=0，
解得：a=1，
此時f（x）=

-ex+1

ex+1

在R上為減函數(shù)，
（2）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k）
由（1）得，f（x）在定義域內為單調遞減函數(shù)，
∴t²-2t＞-2t²+k，即3t²-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
故k的取值范圍是（-∞，-

1

3

）．

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義的靈活應用，以及分離常數(shù)法，復合函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調性的應用，二次函數(shù)的性質的應用，較綜合，但難度不大，屬于中檔題．