Question

20．如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，點E，F(xiàn)，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四邊形EFGH為平行四邊形．又∵AD=BD，AC=BC的對稱性，可知AB⊥CD．
所以：四邊形EFGH為矩形．建立二次函數(shù)關(guān)系求解四邊形EFGH面積的最大值．

解答 解：∵直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；
同理：EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四邊形EFGH為平行四邊形．
又∵AD=BD，AC=BC的對稱性，可知AB⊥CD．
所以：四邊形EFGH為矩形．
設(shè)BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2x，HG=2（1-x）
S_EFGH=FG×HG=4x（1-x）
=-4（${x}^{2}-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$）
=-4$（x-\frac{1}{2}）^{2}+1$
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：S_EFGH面積的最大值1．
故選：C．

點評 本題考查了四面體ABCD中的對稱性來證明四邊形是矩形．同時考查了動點的問題以及靈活性的運用．屬于難題．