Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AC的中點(diǎn)，，則異面直線AB₁與C₁D所成角的余弦值為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接B₁C，取B₁C中點(diǎn)E，連接C₁E、DE．設(shè)AD=DC=1，則Rt△C₁DC中利用60°角的三角函數(shù)，可算出CC₁=，C₁D=2，再用勾股定理算出AB₁=B₁C=，從而得出在△C₁DE中，DE=C₁E=，由余弦定理得cos∠C₁DE=，最后由異面直線所成角的定義得到異面直線AB₁與C₁D所成角的余弦值．
解答：解：連接B₁C，取B₁C中點(diǎn)E，連接C₁E、DE
設(shè)AD=DC=1，則Rt△C₁DC中，tan=
∴CC₁=CD=，C₁D=2
矩形BCC₁B₁中，=，可得C₁E=
又∵△AB₁C中，AB₁=B₁C=，DE是中位線
∴DE=AB₁=
因此，在△C₁DE中，由余弦定理得：cos∠C₁DE==
∵DE∥AB₁，
∴銳角∠C₁DE就是直線AB₁與C₁D所成的角，可得異面直線AB₁與C₁D與所成角的余弦值為
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題在正三棱柱中求異面直線所成的角，著重考查了正棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的定義和余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．