Question

20．若3a²-5b＜0，則方程x⁵+2ax³+2bx+4c=0（　�。�

• A． 無實(shí)根
• B． 有唯一實(shí)根
• C． 有三個(gè)不同實(shí)根
• D． 有五個(gè)不同實(shí)根

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=x⁵+2ax³+2bx+4c，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：設(shè)f（x）=x⁵+2ax³+2bx+4c，
則f′（x）=5x⁴+6ax²+2b=5（x²）²+6a（x²）+3b，
則判別式△=36a²-4×5×3b=12（3a²-5b）＜0，
∴f′（x）=0無實(shí)根，即f′（x）＞0恒成立，即函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∵$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
則函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有唯一的零點(diǎn)，
即方程f（x）=0有唯一實(shí)根，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的個(gè)數(shù)的判斷，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．