Question

12．設(shè)二次函數(shù)f（x）=mx²-4x+4與g（x）=x²-4mx+4m²-4m-5，其中m∈Z且m≠0，求函數(shù)f（x）和g（x）的零點(diǎn)均為整數(shù)的充要條件．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程為x²-4mx+4m²-4m-5=0，且兩方程都要有實(shí)根，
∴△₁=16-16m≥0且△₂=16m²-4（4m²-4m-5）≥0
解得m∈[-$\frac{5}{4}$，1]
∵兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)，
∴$\frac{4}{m}$∈Z，4m∈Z，．4m²-4m-5∈Z，∴m為4的約數(shù)．
又∵m∈[-$\frac{5}{4}$，1]，
∴m=-1或1．
當(dāng)m=-1時(shí)，第一個(gè)方程x²+4x-4=0的根為非整數(shù)；
而當(dāng)m=1時(shí)，兩方程的根均為整數(shù)，
∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．