Question

9．在統(tǒng)計學(xué)中，偏差是指個別測定值與測定的平均值之差，在成績統(tǒng)計中，我們把某個同學(xué)的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差，班主任為了了解個別學(xué)生的偏科情況，對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x（單位：分）與物理偏差y（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行學(xué)科偏差分析，決定從全班56位同學(xué)中隨機抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析，得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下：

學(xué)生序號	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)偏差x	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

（1）已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為118分，物理平均分為90.5，試預(yù)測數(shù)學(xué)成績126分的同學(xué)的物理成績．
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}$x，
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^8{{x_i}{y_i}}$=324，$\sum_{i=1}^8{x_i^2}$=1256．

Answer 1

分析 （1）由題意，計算平均數(shù)和回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（2）由題意，設(shè)出該同學(xué)的物理成績，寫出物理偏差和數(shù)學(xué)偏差，
利用回歸服從求出這位同學(xué)的物理成績．

解答 解：（1）由題意，計算$\overline x=\frac{{20+15+13+3+2+（{-5}）+（{-10}）+（{-18}）}}{8}=\frac{5}{2}$，
$\overline y=\frac{{6.5+3.5+1.5+0.5+（{-0.5}）+（{-2.5}）+（{-3.5}）}}{8}=\frac{9}{8}$，
回歸系數(shù)$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^8{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{{{\sum_{i=1}^8{x_i^2-n\overline x}}^2}}}=\frac{{324-8×\frac{5}{2}×\frac{9}{8}}}{{1256-8×{{（{\frac{5}{2}}）}^2}}}=\frac{1}{4}$，
所以$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=\frac{9}{8}-\frac{1}{4}×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$，
所以線性回歸方程為$\hat y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$；
（2）由題意，設(shè)該同學(xué)的物理成績?yōu)棣兀?br />則物理偏差為：ω-90.5；
而數(shù)學(xué)偏差為126-118=8，
則（Ⅰ）的結(jié)論可得，$ω-90.5=\frac{1}{4}×8+\frac{1}{2}$，解得ω=93，
所以，可以預(yù)測這位同學(xué)的物理成績?yōu)?3分．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法和應(yīng)用問題，是中檔題．