Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且x∈（-1，3]時，f（x）=

cos π 2 x，  x∈(-1，1] 1-|x-2|，  x∈(1，3]

，則函數(shù)g（x）=4f（x）-x的零點個數(shù)為（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、6

Answer 1

分析：由條件函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x）推出函數(shù)的最小正周期是4，畫出y=f（x）的圖象，令g（x）=0，則f（x）=

x

4

，函數(shù)g（x）的零點個數(shù)即為y=f（x）的圖象與y=

x

4

的圖象交點個數(shù)，通過圖象的觀察與分析即可得到結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），
則有f（-x）=f（4-x），即f（x+4）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為4的函數(shù)，
令g（x）=0，則f（x）=

x

4

，
先作出y=f（x）在（-1，3]上的圖象，即一個周期的圖象，
然后將它向左、向右平移4k（k是正整數(shù)）個單位，并作出直線y=

x

4

，
觀察在y軸的右邊，當(dāng)x=4時，y=1，得到1個交點，
當(dāng)x＞4時，直線在上方，無交點；當(dāng)0＜x＜4時，顯然有3個交點；
當(dāng)-2＜x＜0時，有1個交點；當(dāng)x＜-2時，y=f（x）的圖象恒在上方，無交點．
故y=f（x）的圖象與直線y=

x

4

的交點有5個，
即函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為5．
故選A．

點評：本題主要考查函數(shù)的周期性及應(yīng)用，函數(shù)的零點及判斷零點個數(shù)的方法，通過兩圖象找交點個數(shù)，正確畫好圖象，并通過圖象分析，是解題的關(guān)鍵．