Question

6．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，F(xiàn)（x）=（x+2）³f（x+2）-17，G（x）=-$\frac{17x+33}{x+2}$，若F（x）的圖象與G（x）的圖象的交點(diǎn)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_m，y_m），則$\sum_{i=1}^{m}$（x_i+y_i）=-19m．

Answer 1

分析 判斷F（x）與G（x）的對(duì)稱(chēng)性，找出對(duì)稱(chēng)中心，利用交點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，
∴g（x）=x³f（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，
∴F（x）=（x+2）³f（x+2）-17=g（x+2）-17關(guān)于點(diǎn)（-2，-17）對(duì)稱(chēng)，
又G（x）=-$\frac{17x+33}{x+2}$關(guān)于點(diǎn)（-2，-17）對(duì)稱(chēng)，
∴$\sum_{i=1}^{m}{x}_{i}$=$\frac{m}{2}×（-4）$=-2m，
$\sum_{i=1}^{m}{y}_{i}$=$\frac{m}{2}×（-34）$=-17m，
∴$\sum_{i=1}^{m}$（x_i+y_i）=$\sum_{i=1}^{m}{x}_{i}$+$\sum_{i=1}^{m}{y}_{i}$=-19m．
故答案為：-19m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性判斷，函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系，屬于中檔題．