Question

10．已知函數f（x）=x²+|x-1|．
（Ⅰ） 求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值與最小值的差為h（t），求h（t）的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論去絕對值號化簡可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}，\;\;x＞1\\{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}，\;\;x≤1\end{array}\right.$，從而判斷函數的單調性；
（Ⅱ）結合（Ⅰ）得，${f_{max}}=f（t+2）={t^2}+5t+5$，討論以確定最小值，從而可得$h（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+5t+\frac{17}{4}，\;\;0＜t≤\frac{1}{2}\\ 6t+4，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}＜t≤1\\ 4t+6，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t＞1.\end{array}\right.$．

解答 解：（Ⅰ） 由題意得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}，\;\;x＞1\\{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}，\;\;x≤1\end{array}\right.$，
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間為$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ） 由題意得${f_{max}}=f（t+2）={t^2}+5t+5$，
當$0＜t≤\frac{1}{2}$時，${f_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，
當$\frac{1}{2}＜t≤1$時，${f_{min}}=f（t）={t^2}-t+1$，
當t＞1時，${f_{min}}=f（t）={t^2}+t-1$，
綜上，$h（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+5t+\frac{17}{4}，\;\;0＜t≤\frac{1}{2}\\ 6t+4，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}＜t≤1\\ 4t+6，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t＞1.\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數的單調性與最值、分段函數等基礎知識，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力．