Question

11．已知函數(shù)g（x）=asinx+bcosx+c．
（1）當b=0時，求g（x）的值域；
（2）當b=0，c=0時，設F（x）=g（x）+cos2x，求實數(shù)a與正整數(shù)k，使得F（x）在（0，kπ）內恰有2017個零點；
（3）當a=3，b=2，c=1時，若實數(shù)m、n、p使得mg（x）+ng（x-p）=1對任意實數(shù)x恒成立，求$\frac{cosp}{2017m+3n}$的值．

Answer 1

分析 （1）當b=0時，g（x）=asinx+c，對a討論，分a=0，a＞0，a＜0，結合正弦函數(shù)的圖象和性質，即可得到值域；
（2）運用二倍角的余弦公式，結合正弦函數(shù)的圖象，由y=sinx在（0，kπ）的圖象特點可得若h（t）=0的兩根均小于1，則零點個數(shù)必為偶數(shù)個，由題意可得兩根中必有一個為1或-1，分別討論兩根的情況，即可得到a和k，滿足條件；
（3）將f（x）解析式前兩項變形利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，表示出g（x）與g（x-p），代入已知等式中變形后根據(jù)x為R時恒成立列出關系式，聯(lián)立即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）當b=0時，g（x）=asinx+c，
當a=0時，g（x）的值域為{c}；
當a＞0時，當sinx=1時，取得最大，sinx=-1取得最小值．
即有g（x）的值域為[c-a，c+a]；
當a＜0時，當sinx=1時，取得最小，sinx=-1取得最大．．
即有g（x）的值域為[c+a，c-a}．
（2）當b=0，c=0時，設F（x）=g（x）+cos2x=asinx+1-2sin²x，
令sinx=t，h（t）=at+1-2t²，
由y=sinx在（0，kπ）的圖象特點可得若h（t）=0的兩根均小于1，
則零點個數(shù)必為偶數(shù)個，則有兩根中必有一個為1或-1，
若有一個根為1，則a=1，另一個根為-$\frac{1}{2}$，由于一個周期內有3個零點，
則k=2×672+1=1345，恰有2017個零點；
若有一個根為-1，則a=-1，另一個根為$\frac{1}{2}$，由于一個周期內有3個零點，
則k=2×672+1=1345，恰有2018個零點．
綜上可得，實數(shù)a=1，正整數(shù)k=1345，使得F（x）在（0，kπ）內恰有2017個零點；
（3）由題設可得g（x）=3sinx+2cosx+1=$\sqrt{13}$sin（x+θ）+1，
g（x-p）=$\sqrt{13}$sin（x+θ-p）+1，其中cosθ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{13}}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴mg（x）+ng（x-p）=1可化成$\sqrt{13}$msin（x+θ）+$\sqrt{13}$nsin（x+θ-p）+m+n=1，
即$\sqrt{13}$（m+ncosp）sin（x+θ）-$\sqrt{13}$nsinpcos（x+θ）+（m+n-1）=0，
由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有$\left\{\begin{array}{l}{m+ncosp=0①}\\{nsinp=0②}\\{m+n-1=0③}\end{array}\right.$，
若n=0，則式①與式③矛盾；
故此n≠0，由②式得到：sinp=0，
當cosp=1時，有矛盾，故cosp=-1，
由①③知m=n=$\frac{1}{2}$，
則$\frac{cosp}{2017m+3n}$=-$\frac{1}{1010}$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)恒成立問題，同時考查正弦函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握公式和正弦函數(shù)的圖象是解本題的關鍵．