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已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，其中a1=b1,且對于某個自然數(shù)n有a2n+1=b2n+1,試比較an+1與bn+1的大小.

解：由題意知，應(yīng)有b1≠0，故a1≠0，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.

∵a2n+1=b2n+1,a1=b1,

∴a1+(2n+1-1)d=b1q2n,

即a1+2nd=b1q2n.

∴a1+2nd=a1q2n.

∴d=.

∴an+1-bn+1=a1+nd-a1qn

=a1+-a1qn

=a1.

(1)若q=1，則d=0,an+1=bn+1=a1.

(2)q=-1，則當(dāng)n為偶數(shù)時，qn-1=0,

所以an+1=bn+1;

當(dāng)n為奇數(shù)時，（qn-1）2＞0.

故a1＞0時,an+1＞bn+1；

a1＜0時，an+1＜bn+1.

(3)若|q|≠1,則恒有（qn-1）2＞0.

故a1＞0時，an+1＞bn+1;

a1＜0時，an+1＜bn+1.

溫馨提示

本題是考查等差、等比數(shù)列知識及不等式的證明的綜合題，求解時要對作差式的變形式進(jìn)行討論才能使求解過程全面、完整.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，公差d不為零，a1=1，且a2，a5，a14成等比數(shù)列；
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an•3n-1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中：a3+a5+a7=9，則a5=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足：a5=11，a2+a6=18．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若bn=an+q an（q＞0），求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；     
（2）求數(shù)列{|an|}的前n項和；
（3）求數(shù)列{
an2n-1
}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知等差數(shù)列{an}中，a4a6=-4，a2+a8=0，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若{an}為遞增數(shù)列，請根據(jù)如圖的程序框圖，求輸出框中S的值（要求寫出解答過程）．

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同步練習(xí)冊答案