Question

1．若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，且x+2y＞m²+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪[4，+∞）
• B． （-∞，-4）∪[2，+∞）
• C． （-2，4）
• D． （-4，2）

Answer 1

分析 由題意和基本不等式可得x+2y的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得m范圍．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）
=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{1}{y}}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=4且y=2時(shí)x+2y取最小值8，
∵x+2y＞m²+2m恒成立，∴8＞m²+2m，
解關(guān)于m的不等式可得-4＜m＜2
故選：D

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立問題和不等式的解法，屬中檔題．