Question

（2012•珠海一模）矩形ABCD中，2AB=AD=4，E是AD中點，沿BE將△ABE折起到△A′BE的位置，使A′C=A′D，F(xiàn)、G分別是BE、CD中點．
（1）求證：A′F⊥CD；
（2）幾何體A′-BCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)：先證明CD⊥FG，CD⊥A′G，從而可證明CD⊥平面A′FG，由此可得A′F⊥CD；
（2）利用錐體的體積公式求：在△A′EF中，用勾股定理可得A′F，由梯形面積公式可得S_{四邊形BCDE}，從而有錐體的體積公式可得答案；

解答：證明：（1）因為F、G分別是BE、CD的中點，所以FG∥BC，所以FG⊥CD，
因為A′C=A′D，所以A′G⊥CD，
又FG∩A′G=G，所以CD⊥平面A′GF，
所以CD⊥A′F．
（2）由（1）知CD⊥A′F，
又A′E=A′B，F(xiàn)為BE中點，所以A′F⊥BE，
所以A′F⊥平面BCDE，
A′E=2，EF=

1

2

EB=

2

，所以A′F=

22-( 2 )2

=

2

，
所以幾何體A′-BCDE的體積VA-BCDE=

1

3

A′F•S四邊形BCDE=

1

3

•

2

•

2+4

2

•2=2

2

．

點評：本題考查線面垂直的判定、性質(zhì)，考查錐體的體積公式，考查學生的邏輯推理能力，屬中檔題．