Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上一點(diǎn)，軸上存在一點(diǎn)滿足，.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相切于第一象限上的點(diǎn)，且分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可先求出的坐標(biāo)為，再由向量垂直求出，即可寫出方程（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)相切可知，求得，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得，準(zhǔn)化為關(guān)于的式子，利用均值不等式求最值.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，

∵，則，

∴，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵直線與直線垂直，且點(diǎn)，

所以，，

∵，∴，得，所以，

因此，橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

即，

，

即，

即,，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”成立，

∴的最小值為3.