Question

13．底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中點(diǎn)，AM與CB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，則點(diǎn)D到平面AMC的距離（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為2a，則利用平移法確定AM與CB₁所成角，且三角形的三邊為3a，$\sqrt{{a}^{2}+1}$，$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，根據(jù)AM與CB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，利用余弦定理，求出a，再利用等體積求出點(diǎn)D到平面AMC的距離．

解答 解：設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為2a，則利用平移法確定AM與CB₁所成角，且三角形的三邊為3a，$\sqrt{{a}^{2}+1}$，$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
∵AM與CB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴|$\frac{{a}^{2}+1+4{a}^{2}+1-9{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{4{a}^{2}+1}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴a=1，
△AMC中，AM=CM=AC=$\sqrt{2}$，∴S_△AMC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)點(diǎn)D到平面AMC的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)D到平面AMC的距離，考查AM與CB₁所成角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定側(cè)棱長(zhǎng)是關(guān)鍵．