Question

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，以O(shè)為圓心的圓與直線相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+3與圓O交于A，B兩點，在圓O上是否存在一點M，使得四邊形OAMB為菱形，若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)圓O的半徑為r，圓心為（0，0），
∵直線x﹣y﹣4=0與圓O相切，
∴d=r==2，
則圓O的方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）在圓O上存在一點M，使得四邊形OAMB為菱形，理由為：
法1：∵直線l：y=kx+3與圓O相交于A，B兩點，
∴圓心O到直線l的距離d=＜r=2，
解得：k＞或k＜﹣，
假設(shè)存在點M，使得四邊形OAMB為菱形，
則OM與AB互相垂直且平分，
∴圓心O到直線l：y=kx+3的距離d=|OM|=1，
即d==1，整理得：k²=8，
解得：k=±2，經(jīng)驗證滿足條件，
則存在點M，使得四邊形OAMB為菱形；
法2：記OM與AB交于點C（x₀，y₀），
∵直線l斜率為k，顯然k≠0，
∴OM直線方程為y=﹣x，
將直線l與直線OM聯(lián)立得：，
解得：，
點M坐標為（，），
又點M在圓上，將M坐標代入圓方程得：（）2+（）2=4，
解得：k²=8，
解得：k=±2，經(jīng)驗證滿足條件，
則存在點M，使得四邊形OAMB為菱形