Question

已知直線y=-x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）（文科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值；
（3）（理科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由可求a，c結(jié)合a²=b²+c²可求ab，進(jìn)而可求橢圓的方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可求AB
（2）（文）設(shè)P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，結(jié)合韋達(dá)定理可求
（3）（理）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由，聯(lián)立方程由△＞0整理得a²+b²＞1結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系整理得：a²+b²-2a²b²=0，結(jié)合橢圓的性質(zhì)b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式可求
解答：解：（1）∵
∴
∴橢圓的方程為…（2分）
聯(lián)立…（3分）
∴
…（7分）
（2）（文）設(shè)P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂，代入上式得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
又將y=1-x代入⇒（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，∵△＞0，
∴，代入①化簡(jiǎn)得 …（14分）
（3）（理）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1…（8分）
∴
整理得：a²+b²-2a²b²=0∴b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式得，
∴，∴，
∴
由此得，
∴故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線與橢圓的相交關(guān)系與方程的轉(zhuǎn)化，解題中要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系得靈活應(yīng)用．