Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設(shè)

2

bn

=

1

an

+1，數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項和T_n，求證：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

2an+1

得

1

an+1

-

1

an

=2，結(jié)合等差數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）由（1）及等差數(shù)列的通項公式可求得a_n；
（3）由

2

bn

=

1

an

+1得bn=

1

n

，從而可得b_nb_n+2，拆項后利用裂項相消法可得T_n，易得結(jié)論；

解答：證明：（1）由an+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2，且

1

a1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得：

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
故an=

1

2n-1

；
（3）由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，
∴bn=

1

n

，
從而：bnbn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
則T_n=b₁b₃+b₂b₄+…+b_nb_n+2
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．

點評：本題考查由遞推式求數(shù)列通項、等差關(guān)系的確定及數(shù)列求和，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．