Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}\\;x≥0}\\{ax+b\\;x＜0}\end{array}\right.$，在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，求常數(shù)a和b的值．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，知函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，然后由e^x的右導(dǎo)數(shù)等于ax+b的左導(dǎo)數(shù)求得a值，再由連續(xù)求得b值．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{ax+b，x＜0}\end{array}\right.$在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，
f（x）在x=0處可導(dǎo)，則其左右導(dǎo)數(shù)均存在且相等，且f（x）在x=0處連續(xù)．
ax+b與e^x在x=0處的右導(dǎo)數(shù)及左導(dǎo)數(shù)均存在．
e^x的右導(dǎo)數(shù)為1，
ax+b的左導(dǎo)數(shù)為a，故a=1；
由連續(xù)知：a×0+b=e⁰=1，即b=1．
故a=1，b=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．