Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，點C在平面PBA內(nèi)的射影D在直線PB上．
（1）求證：AB⊥平面PBC；
（2）設(shè)AB=BC，直線PA與平面ABC所成的角為45°，求異面直線AP與BC所成的角；
（3）在（2）的條件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AB⊥平面PBC，可證AB⊥PC，AB⊥CD，由線面垂直的性質(zhì)及點在面內(nèi)射影的定義可證明；
（2）由PC⊥平面ABC，知∠PAC=45°，設(shè)AB=BC=1，則PC=AC=，以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出點B、A、C、P坐標(biāo)，進而寫出的坐標(biāo)，則異面直線AP與BC所成的角可轉(zhuǎn)化為的夾角計算，注意其與異面角間的關(guān)系；
（3）取AC的中點E，連結(jié)BE，易證是平面PAC的一個法向量．設(shè)平面PAB的一個法向量為=（x，y，z），由可求得，從而二面角C-PA-B的余弦值可轉(zhuǎn)化為兩法向量的夾角余弦值，注意向量的夾角與二面角夾角的關(guān)系；
解答：證明：（1）由于PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以AB⊥PC，
由于點C在平面PBA內(nèi)的射影在直線PB上，
所以CD⊥平面PAB．
又因為AB?平面PBA，所以AB⊥CD．
因此AB⊥平面PCB．
解：（2）因為PC⊥平面ABC，
所以∠PAC為直線PC與平面ABC所成的角，
于是∠PAC=45°，設(shè)AB=BC=1，則PC=AC=，
以B為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），，
，
因為，
所以異面直線AP與BC所成的角為60°；
（3）取AC的中點E，連結(jié)BE，則．
因為AB=BC，所以BE⊥AC．
又因為平面PCA⊥平面ABC，所以BE⊥平面PAC．
因此，是平面PAC的一個法向量．
設(shè)平面PAB的一個法向量為=（x，y，z），
則由，得，取z=1，得，
因此，，
于是cos＜＞===．
又因為二面角C-PA-B為銳角，故所求二面角的余弦值為．
點評：本題考查線面垂直、異面直線及其所成角、二面角，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．