Question

6．已知函數(shù)f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，1]
• B． [-1，1]
• C． [-1，2]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 為去絕對值號，討論a：（1）a＜0時，根據指數(shù)函數(shù)和增函數(shù)的定義便可判斷函數(shù)$f（x）={2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}$在[$-\frac{1}{2}$，3]上單調遞增，從而需滿足f（-$\frac{1}{2}$）≥0，這樣可得到-1≤a＜0；（2）a=0時，顯然滿足條件；（3）a＞0時，得到f（x）=${2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}≥2\sqrt{2a}$，并可判斷x=$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）$時取等號，從而需滿足$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）≤-\frac{1}{2}$，可解出該不等式，最后便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a＜0時，函數(shù)f（x）=${2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}$在$[-\frac{1}{2}，3]$上單調遞增；
∴$f（-\frac{1}{2}）=\sqrt{2}+\sqrt{2}a≥0$；
∴-1≤a＜0；
（2）當a=0時，f（x）=2^x+1在$[-\frac{1}{2}，3]$上單調遞增；
（3）當a＞0時，$f（x）={2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}≥2\sqrt{2a}$，當且僅當${2}^{x+1}=\frac{a}{{2}^{x}}$，即x=$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）$時等號成立；
∴要使f（x）在[$-\frac{1}{2}，3$]上單調遞增，則$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）≤-\frac{1}{2}$；
即0＜a≤1；
綜上得，實數(shù)a的取值范圍為[-1，1]．
故選B．

點評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：取絕對值號，以及指數(shù)函數(shù)的單調性，增函數(shù)的定義，基本不等式的運用，清楚基本不等式等號成立的條件，指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及對數(shù)函數(shù)的單調性．