Question

已知橢圓C的方程為（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓為橢圓C的“伴隨圓”，橢圓C的短軸長為2，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，與其“伴隨圓”交于C，D兩點，當|CD|= 時，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得，，由b=1，知a²=3，由此能求出橢圓C的方程和“伴隨圓”的方程．
（Ⅱ）當CD⊥x軸時，由|CD|=，得|AB|=．當CD與x軸不垂直時，由|CD|=，得圓心O到CD的距離為．設直線CD的方程為y=kx+m，則由，得，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．故，，由此能求出△AOB的面積取最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，，
又∵b=1，∴a²=3，∴橢圓C的方程為，（3分）
∵=，
∴“伴隨圓”的方程為x²+y²=4．（4分）
（Ⅱ）①當CD⊥x軸時，由|CD|=，得|AB|=．
②當CD與x軸不垂直時，由|CD|=，得圓心O到CD的距離為．
設直線CD的方程為y=kx+m，則由，得，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴，．（6分）
當k≠0時，
=
=（1+k²）[-]
=
=3+
=3+
=4．
當且僅當9k²=，即k=時等號成立，此時|AB|=2．
當k=0時，|AB|=，綜上所述：|AB|_max=2，
此時△AOB的面積取最大值S=|AB|_max×=．（10分）
點評：本題考查橢圓和“伴隨圓”的方程，考查三角形面積最大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．