Question

有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？

Answer 1

解法一：根據(jù)題意知,只有點C在線段AD上某一適當位置,才能使總運費最省,設C點距D點x km,則?

∵BD=40,AC=50-x,?

∴BC=.又設總的水管費用為y元,依題意有

y=3a（50-x）+5a（0＜x＜50）.

y′=-3a+,?

令y′=0,解得x=30.

在（0,50）上,y只有一個極值點,根據(jù)實際問題的意義,

函數(shù)在x=30（km）處取得最小值,?

此時AC=50-x=20（km）.

∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.

解法二：設∠BCD=θ,則BC=,?

CD=40·cotθ,（0＜θ＜）,?

∴AC=50-40·cotθ.?

設總的水管費用為f（θ）,依題意,有?

f（θ）=3a（50-40·cotθ）+5a·

=150a+40a·，?

∴f（θ）=

=40a·.

令f′（θ）=0,得cosθ=.?

根據(jù)問題的實際意義,當cosθ=時,?

函數(shù)取得最小值,此時sinθ=,?

∴cotθ=,?

∴AC=50-40cotθ=20（km）,

即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可供水管費用最省.