Question

已知α∈(0，π］，求證：2sin2α≤.

Answer 1

證法一：(作差比較法)

2sin2α－＝4sinαcosα－

＝.

∵α∈(0，π)，

∴sinα＞0，1－cosα＞0，(2cosα－1)²≥0.

∴2sin2α－≤0.∴2sin2α≤.

證法二：(分析法)

要證明2sin2α≤成立，

只要證明4sinαcosα≤.

∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.

只要證明4cosα≤.

上式可變形為4≤＋4(1－cosα).

∵1－cosα＞0，

∴＋4(1－cosα)≥2＝4，

當且僅當cosα＝，即α＝時取等號.

∴4≤＋4(1－cosα)成立.

∴不等式2sin2α≤成立.

證法三：(綜合法)

∵＋4(1－cosα)≥4，(1－cosα＞0，當且僅當cosα＝即α＝時取等號)

∴4cosα≤.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.

∴4sinαcosα≤.∴2sin2α≤.

點評：應體會三種證法的特點及優(yōu)缺點.