Question

6．某餐飲連鎖企業(yè)在某地級市東城區(qū)和西城區(qū)各有一個加盟店，兩店在2015年的1～7月份的利潤y（單位：萬元）如莖葉圖所示：
（1）計算甲店和乙店在1～7月份的平均利潤，比較兩店利潤的分散程度（不用計算）；
（2）從這兩點1～7月份的14個利潤中選取2個，設(shè)這2個利潤中“大于45萬元”的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（3）假設(shè)甲店1～7月份的利潤恰好是遞增的，判斷甲店的利潤y和月份t是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有，預(yù)測甲店8月份的利潤，若沒有，請說明理由．（小數(shù)點后保留兩位小數(shù)）
附：回歸直線的斜率的最小乘法估計公式：
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）計算甲、乙兩店利潤的平均數(shù)，并分析莖葉圖中的數(shù)據(jù)離散情況，即可得出結(jié)論；
（2）分析表中數(shù)據(jù)，求出X的可能取值以及對應(yīng)的概率，列出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值；
（3）判斷甲店的利潤y和月份t具有相關(guān)關(guān)系，利用公式求出線性回歸方程，并預(yù)測利潤大小．

解答 解：（1）經(jīng)計算，甲店利潤的平均水平為43，乙店利潤的平均水平也為43，
但從莖葉圖看乙店的數(shù)據(jù)比較集中，甲店的數(shù)據(jù)比較分散；
（2）由表知，14個數(shù)據(jù)中，大于45的有5個，X的可能取值為0，1，2；
P（X=0）=$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{36}{91}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{•C}_{9}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{45}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{10}{91}$；
所以X的分布列為，X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{36}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{10}{91}$

數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{36}{91}$+1×$\frac{45}{91}$+2×$\frac{10}{91}$=$\frac{5}{7}$．
（3）根據(jù)甲店的利潤y和月份t的散點圖得出甲店的利潤y和月份t具有相關(guān)關(guān)系，
計算$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=43，$\underset{\stackrel{7}{∑}}{i=1}$t_iy_i=1373，$\underset{\stackrel{7}{∑}}{i=1}$${{t}_{i}}^{2}$=140；
再根據(jù)回歸直線的斜率的最小二乘法估計公式：
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，
計算$\stackrel{∧}$=6.04，$\stackrel{∧}{a}$=18.84，
所以線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=6.04t+18.84，
當t=8時，預(yù)測利潤為67.16萬元．

點評 本題考查了莖葉圖與離散型隨機變量分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，也考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．