Question

【題目】已知等差數列和等比數列，其中的公差不為0.設是數列的前項和.若，，是數列的前3項，且.

（1）求數列和的通項公式；

（2）是否存在常數，使得為等差數列？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1); ; (2) 或

【解析】

（1）由，，是等比數列的前3項利用等差中項的性質列出、d的關系式，代入即可求出、d，從而求得數列和的通項公式；（2）令先求出的表達式，若數列為等差數列推出為常數，則，列出方程求t，代入原式驗證即可.

（1）設數列的公差為d，通項公式為，

因為，，是等比數列的前3項，所以，

即，整理得，

又，所以，

，，

所以，

因為，所以.

（2）數列的前n項和，

則，令，

若數列為等差數列，則為常數，

當時，，

整理得，解得或，(舍去)

經驗證當或時均為常數，

綜上所述，或時為等差數列.