Question

6．已知數列{a_n}中，前m項依次構成首項為1，公差為-2的等差數列．第m+1項至第2m項依次構成首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，其中m≥3，m∈N^*．
（1）求a_m，a_2m
（2）若對任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n．設數列{a_n}的前n項和為S_n，求S_4m+3．

Answer 1

分析 （1）根據等差等比數列通項公式分段求出即可；
（2）結合a_n+2m=a_n把S_4m+3轉化為2S_2m+a₁+a₂+a₃，然后結合等差數列和等比數列的前m項和得答案．

解答 解：（1）當1≤n≤m時，a_n=1+（n-1）（-2）=-2n+3；
當m+1≤n≤2m時，${a}_{n}=1•（\frac{1}{2}）^{n-m-1}$，
綜上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3-2n，1≤n≤m}\\{（\frac{1}{2}）^{n-m-1}，m+1≤n≤2m}\end{array}\right.$，
∴${a}_{m}=3-2m；{a}_{2m}=（\frac{1}{2}）^{m-1}$；
（2）S_4m+3=S_4m+a_4m+1+a_4m+2+a_4m+3
=2S_2m+a₁+a₂+a₃=2[（a₁+a₂+…+a_m）+（a_m+1+a_m+2+…+a_2m）]+a₁+a₂+a₃
=$2[m+\frac{m（m-1）（-2）}{2}+\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{m}}）}{1-\frac{1}{2}}]$+（1-1-3）=$4m-2{m}^{2}-\frac{1}{{2}^{m-2}}+1$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的性質，考查了等差數列與等比數列的前n項和，是中檔題．