Question

（2012•濟(jì)寧一模）已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，且滿足a₁+a₅=6，A₉=63；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，且滿足Bn=2bn-1(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_b，b_n；
（II）設(shè)c_n=a_n•b_n求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）先通過(guò)條件求等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，對(duì)數(shù)列{b_n}根據(jù)b_n=B_n-B_n-1的關(guān)系，求通項(xiàng)公式．
（II）利用錯(cuò)位相減法求c_n．

解答：解：（I）設(shè) {a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，因?yàn)?a₁+a₅=6，得a₁+2d=3．由A₉=63，得a₁+4d=7，兩式聯(lián)立解得a₁=-1，d=2．
所以an=-1+2(n-1)=2n-3，n∈N•．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2b₁-1，解得b₁=1．當(dāng) n≥2時(shí)，b_n=B_n-B_n-1=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)是1，公比為2的等比數(shù)列．所以bn=2n-1，n∈N•．
（II）因?yàn)閏_n=a_n•b_n，所以cn=an?bn=(2n-3)?2n．
則Sn=-2+1?22+3?23+…+(2n-3)?2n   ①
2Sn=-22+1?23+3?24+…+(2n-3)?2n+1 ②
①-②得，-Sn=-2+2?22+2?23+…+2?2n-(2n-3)?2n+1=

2?22(1-2n-1)

1-2

-2-(2n-3)?2n+1=

2?22(1-2n-1)

1-2

-2-(2n-3)?2n+1=2n+1-8-2-(2n-3)?2n+1=(4-2n)?2n+1-10，
所以Sn=10-(4-2n)?2n+1，即數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為Sn=10-(4-2n)?2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及利用錯(cuò)位相減法解決一個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列相成的數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題．注意準(zhǔn)算的準(zhǔn)確性．