Question

7．以下五個(gè)命題：
①“事件A，B是互斥事件”是“事件A，B是對(duì)立事件”的充分不必要條件；
②設(shè)y=f（x）是R上的任意函數(shù)，則函數(shù)h（x）=f（x）-f（-x）是偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=2^x+x³-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；
④若$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1（x，y∈R⁺），則x+y的最小值為12；
⑤若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基量”；若{a_n}是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，則“S₁與S₂”與“q與a_n”（其中n為大于1的整數(shù)，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和）均為數(shù)列{a_n}的“基量”．
其中的真命題對(duì)應(yīng)的序號(hào)為③⑤．

Answer 1

分析 ①注意互斥事件不一定對(duì)立，對(duì)立事件一定是互斥事件．
②由于函數(shù)的定義域都是R，故只看f（-x）與f（x）的關(guān)系，再根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義作出判斷．
③根據(jù)函數(shù)f（x）=2^x+x³-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，f（0）f（1）＜0，可得函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．
④利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
⑤由通項(xiàng)公式，數(shù)列{a_n} 能夠確定，從而可判斷．

解答 解：①，由“A，B是互斥事件”不一定有“A，B是對(duì)立事件”，
反之，由“A，B是對(duì)立事件”一定有“A，B是互斥事件”，
所以命題“A，B是互斥事件”是命題“A，B是對(duì)立事件”的必要不充分條件，所以命題①不正確；
②，h（x）=f（x）-f（-x），h（-x）=f（-x）-f（x）=-h（x），故為奇函數(shù)，故②不正確．
③，由于函數(shù)f（x）=2^x+x³-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
又f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，
故函數(shù)f（x）=2^x+x³-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，故③正確．
④∵x，y∈R⁺，$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=10+$\frac{y}{x}$$+\frac{9x}{y}$≥10+$2\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{9x}{y}}$=10+6=16，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4，y=12時(shí)，取等號(hào)．∴x+y的最小值為16．故④不正確．
⑤：對(duì)“S₁和S₂”，可知a₁和a₂．由 $\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$可得公比q，故能確定是該數(shù)列的“基量”；
對(duì)“q與a_n”，由{a_n}是等比數(shù)列得a_n=a₁q^n-1，故數(shù)列{a_n} 能夠確定是數(shù)列{a_n} 的一個(gè)“基量”；故⑤正確．
故答案為：③⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假的判斷，考查了全稱命題的否定的格式，考查了充要條件判斷的方法，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，函數(shù)零點(diǎn)的定義以及函數(shù)零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，是中檔題型．