Question

在集合{1，2，3，4，5}中任取一個偶數a和一個奇數b構成以原點為起點的向量

a

=（a，b），從所得的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形的面積等于2的概率為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題,幾何概型

專題：平面向量及應用,概率與統計

分析：根據古典概型的概率公式，分別求出滿足條件的a，b的取法，即可得到結論．

解答： 解：由題意知本題是一個古典概型，
試驗發(fā)生包含的事件是取出數字，構成向量，
a的取法有2種，b的取法有3種，故向量

a

=（a，b）有6個，
分別為

a

₁=（2，1），

a

₂=（2，3），

a

₃=（4，1），

a

₄=（4，3），

a5

=（2，5），

a6

=（4，5），從中任取兩個向量共C₆²=15種取法，
設兩個非零向量

a

，

b

，它們的夾角為θ，則cosθ=

a • b

| a |•| b |

，
則sinθ=

1-cos2θ

=

| a |2•| b |2-( a • b )2

| a || b|

，

∴對應平行四邊形的面積S=2×

1

2

|

a

|•|

b

|sinθ=

(| a |•| b |)2-( a • b )2

，
則S=2，則（|

a

||

b

|）²-（

a

•

b

）²=4，
當

a

₁=（2，1），

a

₃=（4，1）時，滿足條件，
當

a

₁=（2，1），

a

₄=（4，3）時，滿足條件，
當

a

₂=（2，3），

a6

=（4，5），滿足條件．
∴滿足條件的事件列舉法求出面積等于2的三角形的個數有3個，
∴根據古典概型概率公式得到P=

3

15

=

1

5

，
故答案為：

1

5

點評：本題考查古典概型及其概率計算公式，考查平面向量的數量積的應用，綜合性較強，難度較大．