Question

4．已知圓C：x²+y²+4y-21=0內(nèi)有一點M（-3，-3），AB為過點M的弦．
（1）當(dāng)AB的傾斜角為135°時，求AB的長；
（2）求AB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線AB的方程，利用圓的圓心到直線的距離與半徑半弦長的關(guān)系推出結(jié)果即可．
（2）法1：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），若P、M、C三點不共線時，得到|CM|²=|MP|²+|CP|²，的軌跡方程，若P、M重合時，即P（-3，-3），驗證結(jié)果．推出結(jié)論．
法2：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≠0且x≠-3時，通過k_CP•k_AB=-1，求解點P的軌跡方程．
法3：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），通過$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{MP}=0$，得到點P的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意得，圓心C（0，-2），半徑r=5．
當(dāng)α=135°時，直線AB的斜率k=tan135°=-1，…（2分）
∴直線AB的方程為：y+3=-（x+3），即x+y+6=0，
∴圓心C到直線AB的距離為：$d=\frac{|0-2+6|}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，…（4分）
由垂徑定理得，$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{25-8}=2\sqrt{17}$．…（6分）
（2）法1：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），…（7分）
若P、M、C三點不共線時，則|CM|²=|MP|²+|CP|²，…（9分）
即10=（x+3）²+（y+3）²+x²+（y+2）²，
化簡得，x²+y²+3x+5y+6=0．   （*） …（11分）
若P、M重合時，即P（-3，-3），則（-3）²+（-3）²-9-15+6=9+9-9-15+6=0也滿足上述方程（*）…12分．                                        …（12分）
若P、C重合時，即P（0，-2），則0²+（-2）²+0-10+6=0也滿足上述方程（*）． …（13分）
綜上所述，點P的軌跡方程為x²+y²+3x+5y+6=0（或${（x+\frac{3}{2}）^2}+{（y+\frac{5}{2}）^2}=\frac{5}{2}$）．…（14分）
法2：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），…（7分）
當(dāng)x≠0且x≠-3時，由題意有，CP⊥AB，則k_CP•k_AB=-1，…（9分）
又${k_{CP}}=\frac{y+2}{x}$，${k_{AB}}={k_{PM}}=\frac{y+3}{x+3}$，
∴$\frac{y+2}{x}•\frac{y+3}{x+3}=-1$，化簡得，x²+y²+3x+5y+6=0，（*）    …（11分）
當(dāng)x=0或x=-3時，點P（0，-3）或P（0，-2）或P（-3，-2）或P（-3，-3）均滿足方程．（13分）
所以點P的軌跡方程為x²+y²+3x+5y+6=0．                …（14分）
法3：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），…（7分）
由題意有，$\overrightarrow{CP}⊥\overrightarrow{MP}$，則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{MP}=0$，…（9分）
∵$\overrightarrow{CP}=（x，y+2）$，$\overrightarrow{MP}=（x+3，y+3）$，…（10分）
∴x（x+3）+（y+2）（y+3）=0，化簡得x²+y²+3x+5y+6=0，…（13分）
所以點P的軌跡方程為x²+y²+3x+5y+6=0．…（14分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．