Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：
①a₁=1；
②所有項(xiàng)a_n∈N^*；
③1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜a_n+1＜…
設(shè)集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，將集合A_m中的元素的最大值記為b_m，即b_m是數(shù)列{a_n}中滿足不等式a_n≤m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列{b_n}為數(shù){a_n}的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列{a_n}；
（Ⅱ）設(shè)a_n=3^n-1，求數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}的前30項(xiàng)之和；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n =n²+c（其中c常數(shù)），求數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}的前m項(xiàng)和T_m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義直接可得答案；                                       
（Ⅱ）由${a}_{n}={3}^{n-1}≤m$，得n≤1+log₃m （m∈N^*），分1≤m≤2，3≤m≤8，9≤m≤26，27≤m≤30（m∈N^*）四種情況考慮即可；
（III）由題意和a_n與S_n的關(guān)系式求出a_n，代入a_n≤m得n的最大值為b_m，并求出伴隨數(shù)列{b_m}的各項(xiàng)，再對m分類討論，分別求出伴隨數(shù)列{b_m}的前m項(xiàng)和T_m．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，易得數(shù)列為1，4，7；                                               
（Ⅱ）由${a}_{n}={3}^{n-1}≤m$，得n≤1+log₃m （m∈N^*）
當(dāng)1≤m≤2，m∈N^*時，b₁=b₂=1
當(dāng)3≤m≤8，m∈N^*時，b₃=b₄=…=b₈=2
當(dāng)9≤m≤26，m∈N^*時，b₉=b₁₀=…=b₂₆=3
當(dāng)27≤m≤30，m∈N^*時，b₂₇=b₂₈=b₂₉=b₃₀=4
∴b₁+b₂+…+b₃₀=1×2+2×6+3×18+4×4=84；
（III）∵a₁=S₁=1+c=1，∴c=0；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）
由a_n=2n-1≤m得：$n≤\frac{m+1}{2}$  （m∈N^*）
因?yàn)槭沟胊_n≤m成立的n的最大值為b_m，
所以b₁=b₂=1，b₃=b₄=2，…，b_2t-1=b_2t=t   （t∈N^*）
當(dāng)m=2t-1  （t∈N^*）時：${T}_{m}=2•\frac{1+（t+1）}{2}•（t-1）+t$=t²=$\frac{1}{4}（m+1）^{2}$，
當(dāng)m=2t  （t∈N^*）時：${T}_{m}=2•\frac{1+t}{2}•t$=t²+t=$\frac{1}{4}m（m+2）$
所以 ${T}_{m}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{（m+1）^{2}}{4}}&{（m=2t-1，t∈{N}^{*}）}\\{\frac{m（m+2）}{4}}&{（m=2t，t∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查對抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，屬難題．