Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù) ,使 成立，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 函數(shù) 恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù) 的不動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn) 是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)設(shè)為不動(dòng)點(diǎn)，則有,變形為,解方程即可；(2)將轉(zhuǎn)化為，由已知，此方程有相異二實(shí)根，則有恒成立，可得，由可得結(jié)果；(3)由垂直平分線(xiàn)的定義解答，由兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),則有 ,再由直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，得到，再由中點(diǎn)在直線(xiàn)上可得利用基本不等式求解即可.

，

（1）當(dāng)時(shí)，，

設(shè)為其不動(dòng)點(diǎn)，即,

則,

即的不動(dòng)點(diǎn)是.

(2)由得，

由已知，此方程有相異二實(shí)根，則有恒成立

即，即對(duì)任意恒成立，

，.

(3)設(shè)，

直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，，

記的中點(diǎn)，由（2）知，

在上，，

化簡(jiǎn)得（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

即，即.