Question

已知橢圓的離心率為，長軸長為，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的值（O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，求面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）     （2）            

   （3）

       當(dāng)|AB最大時(shí)，的面積最大值  

【解析】（1）依題意得，所以.橢圓方程為

（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，保證，求出，利用，可得

（3）由原點(diǎn)O到直線的距離為得.直線方程與橢圓方程聯(lián)立，保證，求出，利用，可得

利用不等式求出最值.注意的討論.

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意  解得

       由 2分

       所求橢圓方程為  3分

   （2）   設(shè)，其坐標(biāo)滿足方程

       消去并整理得   4分

       則有，      6分

               

                    8分

   （3）由已知，可得    9分

       將代入橢圓方程，

       整理得

      

        10分

      

        11分

          12分

       當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足（*）式

       當(dāng)時(shí)，

綜上可知               13分

       當(dāng)|AB最大時(shí)，的面積最大值   14分