Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于-2，記頂點C的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+2（0＜k＜2）與y軸相交于點P，與曲線E相交于不同的兩點Q，R（點R在點P和點Q之間），且$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PR}$，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點C（x，y），可得$\frac{y-1}{x}$•$\frac{y+1}{x}$=-2，化簡得曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+2與y軸相交于點P（0，2），
與曲線E相交于不同的兩點Q，R（點R在點P和點Q之間），設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
聯(lián)立方程得（2+k²）x²+4kx+3=0；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4k}{2+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$…①
△=16k²-24-12k²=4k²-24＞0，⇒k²＞6…②
∵$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{1}，{y}_{1}-2）$，$\overrightarrow{PR}=（{x}_{2}，{y}_{2}-2）$，且$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PR}$，
∴x₁=λx₂…③
由①②得（1+λ）x₂=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$，$λ{(lán){x}_{2}}^{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$
⇒$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}=\frac{3}{16}（\frac{2}{{k}^{2}}+1）$，
結(jié)合③得$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}∈（\frac{3}{16}，\frac{1}{4}）$⇒實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點C（x，y），∵△ABC的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），
且AC，BC所在直線的斜率之積等于-2，
∴$\frac{y-1}{x}$•$\frac{y+1}{x}$=-2，
化簡得曲線E的方程為：2x²+y²=1（y≠0）；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+2（0＜k＜2）與y軸相交于點P（0，2），
與曲線E相交于不同的兩點Q，R（點R在點P和點Q之間），設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{2x}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴（2+k²）x²+4kx+3=0；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4k}{2+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$…①
△=16k²-24-12k²=4k²-24＞0，⇒k²＞6…②
∵$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{1}，{y}_{1}-2）$，$\overrightarrow{PR}=（{x}_{2}，{y}_{2}-2）$，且$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PR}$，
∴x₁=λx₂…③
由①②得（1+λ）x₂=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$，$λ{(lán){x}_{2}}^{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$
⇒$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}=\frac{3}{16}（\frac{2}{{k}^{2}}+1）$，
結(jié)合③得$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}∈（\frac{3}{16}，\frac{1}{4}）$⇒
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{（1+λ）^{2}}＞\frac{3}{16}}\\{\frac{λ}{（1+λ）^{2}}＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{3{λ}^{2}-10λ+3＜0}\\{{λ}^{2}-2λ+1＞0}\end{array}\right.$⇒$\frac{1}{3}＜λ＜3$且λ≠1．

點評 本題考查了動點軌跡方程的求解，直線與曲線的位置關(guān)系，考查了根與系數(shù)的關(guān)系、向量運算，屬于中檔題．