Question

設(shè)函數(shù)f（x）=[x]-1，x∈（0，+∞）（其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[

1

3

]=0，[

6

3

]=1，[2]=2），則方程f（x）-log₂x=0的根的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、無(wú)數(shù)個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由方程f（x）-log₂x=0，得程f（x）=log₂x，然后根據(jù)定義分別討論f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由方程f（x）-log₂x=0，得程f（x）=log₂x，
當(dāng)0＜x＜1，[x]=0，則f（x）=[x]-1=-1，此時(shí)log₂x＜0，由f（x）=log₂x=-1，解得x=

1

2

，
當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，則f（x）=[x]-1=1-1=0，由f（x）=log₂x=0，解得x=1，滿足條件，
當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，則f（x）=[x]-1=2-1=1，由f（x）=log₂x=1，解得x=2，滿足條件，
當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，則f（x）=[x]-1=3-1=2，由f（x）=log₂x=2，解得x=4，不滿足條件，
當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，則f（x）=[x]-1=4-1=3，此時(shí)log₂x＜3，此時(shí)方程無(wú)解，不滿足條件，
…
當(dāng)n≤x＜n+1，（n≥5），[x]=，n，則f（x）=[x]-1=n-1=3，此時(shí)方程無(wú)解，不滿足條件，
故方程f（x）-log₂x=0的根的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)以及[x]的應(yīng)用，利用分段函數(shù)求出f（x）的表達(dá)式，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．