Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如圖2所示．
（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值；
（3）已知點M在線段AF上，且EM∥平面ADC，求

AM

AF

的值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，AE⊥BD于E，能證明AE⊥平面BCD．
（2）以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
（3）設(shè)

AM

=λ

AF

，利用向量法能求出在線段AF上存在點M使EM∥平面ADC，且

AM

AF

=

3

4

．

解答： （1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由題意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如圖，以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系E-xyz，
設(shè)AB=BD=DC=AD=2，
則BE=ED=1，∴AE=

3

，BC=2

3

，BF=

3

3

，
則E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，

3

），
F（

3

3

，0，0），C（

3

，2，0），

DC

=(

3

，1，0)，

AD

=(0，1，

3

)，
由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個法向量為

EA

=(0，0，

3

)，
設(shè)平面ADC的一個法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DC = 3 x+y=0 n • AD =y- 3 z=0

，
取x=1，得

n

=(1，-

3

，-1)，
∴cos＜

n

，

EA

＞=-

5

5

∴二面角A-DC-B的余弦值為

5

5

．
（3）設(shè)

AM

=λ

AF

，其中λ∈[0，1]，
∵

AF

=(

3

3

，0，-

3

)，∴

AM

=λ

AF

=λ(

3

3

，0，-

3

)，
∴

EM

=

EA

+

AM

=(

3

3

λ，0，(1-λ)

3

)，
由

EM

•

n

=0，得

3

3

λ-(1-λ)

3

=0，解得λ=

3

4

∈[0，1]，
∴在線段AF上存在點M使EM∥平面ADC，且

AM

AF

=

3

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．