Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁：（a>b>0）的上下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且
（1） 求橢圓C₁的方程；
（2） 已知點P（1，3）和圓O：x²+y²=b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足 ，λ≠0且λ≠±1。求證：點Q總在某定直線上。

Answer 1

解：（1）由C₂：x²=4y知，F(xiàn)₁（0，1），設M（x₀，y₀）（x₀<0），
因M在拋物線C₂上，故x₀²=4y₀，
又|MF₁|= ，則y₀+1= ，得x₀=，y₀= ，
而點M在橢圓上，有，又c=1，
所以橢圓方程為 
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由AP=-λPB，得（1-x₁，3-y₁）=- λ（x₂-1，y₂-3），即 x₁-λx₂=（1-λ） ①   
y₁-λy₂=3（1-λ）  ②
由 ，得x₁+λx₂=（1+λ）x  ③   
 y₁+λy₂=（1+λ）y，  ④ 
  ∴①×③，得x₁²-λ²x₂²=（1-λ²）x ， 
②×④，得y₁²-λ²y₂²=3y（1-λ²）   
兩式相加得（x₁²+y₁²）- λ²（x₂²+y₂²）=（1-λ₂²）（x+3y），
又點A，B在圓 x²+y²=b²上，由（1）知，即在圓x²+y²=3上，且λ≠±1，  
∴x₁²+y₁²=3， x₂²+y₂²=3，即x+3y=3，
∴點Q總在定直線x+3y=3上