Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）•cos（x+$\frac{π}{4}$）-2sin²x，x∈R，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[-$\frac{3}{2}$，0]．

Answer 1

分析 使用誘導公式和二倍角公式化簡f（x），根據(jù)三角函數(shù)的性質得出f（x）的最值．

解答 解：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）•cos（x-$\frac{π}{4}+\frac{π}{2}$）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos（x-$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{2}$）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos2x-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-（1-2sin²x）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值-$\frac{3}{2}$，
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值0．
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，0]．
故答案為[-$\frac{3}{2}$，0]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題．