Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax+1（a是不為零的常數(shù)且a∈R）．
（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)性；
（2）當a=-1時，方程f（x）•g（x）=t在區(qū)間[-1，1]上有兩個根，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)N，使得當n∈N⁺且n＞N時，不等式f（-1）+f（-$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）+…+f（-$\frac{1}{n}$）＜n-2011恒成立，若存在，找出一個滿足條件的N，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）的導(dǎo)數(shù)F′（x），再根據(jù)F′（x）的零點，討論實數(shù)a的取值，可得F′（x）=0有一個或零個實數(shù)根，因此將實數(shù)集分為2個區(qū)間，分別在這兩個區(qū)間上討論的正負，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當a=-1時，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1），可以得出F（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為F（0）=1，可以求出符合題的實數(shù)t的取值范圍；
（3）證明當x＜1時，有e^x≤$\frac{1}{1-x}$，將原不等式轉(zhuǎn)化成不等式n-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$）＜n-2010，利用調(diào)和級數(shù)的和，從而得到取N=[e^2010+C]，當n＞N時，不等式f（-1）+f（-$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）+…+f（-$\frac{1}{n}$）＜n-2011恒成立．

解答 解：（1）由題意可得F（x）=f（x）g（x）=e^x（ax+1），
∴F′（x）=e^x（ax+a+1），
令F′（x）=e^x（ax+a+1）=0，
∴x=-$\frac{a+1}{a}$．
∴當a＞0時F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-$\frac{a+1}{a}$）；
當a＜0時F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\frac{a+1}{a}$），單調(diào)減區(qū)間為（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）；
（2）由題意可得當a=-1時，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1），
由（1）可得當a=-1時可以得出F（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)的最大值為F（0）=1；
又∵方程f（x）•g（x）=t在區(qū)間[-1，1]上有兩個解，
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，1）．
（3）令t（x）=e^x•（1-x），
∴t′（x）=-e^x•x，
當t′（x）=0時，x=0，當t′（x）＞0時，x＞0，當t′（x）＜0時，x＜0．
∴t（x）=e^x•（1-x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴當x=0時，函數(shù)t（x）的最大值為1．
∴e^x（1-x）≤1，
∴當x＜1時，有e^x≤$\frac{1}{1-x}$
不等式f（-1）+f（-$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）+…+f（-$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$+…+$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{n}{n+1}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{1}{4}$）+…+（1-$\frac{1}{n+1}$）
=n-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$）≈n-ln（n+1）+C（C=0.57722…一個無理數(shù)，稱作歐拉初始）
當n-ln（n+1）+C＜n-2010時，原不等式恒成立，
故只須ln（n+1）＞2010+C，即n+1＞e^2010+C，也即n＞e^2010+C-1，
故取N=[e^2010+C]，當n＞N時，不等式f（-1）+f（-$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）+…+f（-$\frac{1}{n}$）＜n-2011恒成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查求函數(shù)的最值進而求出參數(shù)的范圍、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．