Question

已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=x²+2x-1
（1）求f（x）的解析式和定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是

31

9

，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）由條件可得log_ax有意義，故有x＞0，從而求得函數(shù)的定義域．令t=log_ax，求得f（t）=a^2t+2a^t-1，t∈R，從而求得f（x）的解析式．
（2）由于-1≤x≤1時，當(dāng)a＞1時，令a^x=m，則

1

a

≤m≤a，f（x）=g（m）=（m+1）²-2，根據(jù)g（m）在[

1

a

，a]上是增函數(shù)，函數(shù)的最大值g（a）=

31

9

，求得得a的值；當(dāng)0＜a＜1時，同理求得a的值，綜合可得答案

解答：解：（1）由a＞0且a≠1，f（log_ax）=x²+2x-1，可得 x＞0，
故函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
令t=log_ax，則 x=a^t，且f（t）=a^2t+2a^t-1，t∈R，
∴f（x）=a^2x+2a^x-1，x∈R．
（2）由于-1≤x≤1時，當(dāng)a＞1時，則

1

a

≤a^x≤a．
令a^x=m，則

1

a

≤m≤a，f（x）=g（m）=（a^x+1）²-2=（m+1）²-2，
顯然，g（m）在[

1

a

，a]上是增函數(shù)，故函數(shù)的最大值為g（a）=（a+1）²-2=

31

9

，
解得a=

4

3

．
當(dāng)0＜a＜1時，則a≤a^x≤

1

a

．
令a^x=m，則 a≤m≤

1

a

，f（x）=g（m）=（a^x+1）²-2=（m+1）²-2，
顯然，g（m）在[a，

1

a

]上是增函數(shù)，故函數(shù)的最大值為g（

1

a

）=(

1

a

+1)2-2=

31

9

，
解得a=

3

4

．
綜上可得，a=

4

3

，或a=

3

4

．

點評：本題主要考查求函數(shù)的解析式、定義域，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．