Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB=bcosA．
（1）求證：a=b
（2）若sinA=$\frac{3}{5}$，求sin（C$+\frac{3}{4}π$）的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理得到結(jié)果，即可證明．
（2）由（1）可得：C=π-2A，利用sinA=$\frac{3}{5}$，A為銳角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式即可求值．

解答 解：（1）證明：已知等式利用正弦定理化簡得：sinBcosA=sinAcosB，
即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∵A，B都為三角形內(nèi)角，
∴A-B=0，即A=B，則三角形形狀為等腰三角形．
∴a=b．得證．
（2）∵由（1）可得：C=π-A-B=π-2A，
∵sinA=$\frac{3}{5}$，A為銳角，可得：cosA=$\frac{4}{5}$，sin2A=2sinAcosA=$\frac{24}{25}$，cos2A=2cos²A-1=$\frac{7}{25}$，
∴sin（C$+\frac{3}{4}π$）=sin（π-2A$+\frac{3}{4}π$）=-sin（$\frac{π}{4}$+2A）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2A+sin2A）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{7}{25}$+$\frac{24}{25}$）=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

點評 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．