Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

4

=1（a＞2）上一點P到它的兩個焦點F₁（左），F₂ （右）的距離的和是6．
（1）求橢圓C的離心率的值；
（2）若PF₂⊥x軸，且p在y軸上的射影為點Q，求點Q的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓的定義即可求出a=3，所以離心率e=

c

a

=

5

3

；
（2）由橢圓方程

x2

9

+

y2

4

=1得F2(

5

，0)，所以PF₂所在直線方程為x=

5

，帶入橢圓方程即可求出y，即P點的縱坐標，從而便可得到Q點坐標．

解答： 解：（1）根據橢圓的定義得2a=6，a=3；
∴c=

5

；
∴

c

a

=

5

3

；
即橢圓的離心率是

5

3

；
（2）F2(

5

，0)；
∴x=

5

帶入橢圓方程

x2

9

+

y2

4

=1得，y=±

4

3

；
所以Q（0，±

4

3

）．

點評：考查橢圓的標準方程，橢圓的焦點，橢圓的定義，以及橢圓的離心率，直線和橢圓交點坐標的求法，以及點在線上的射影的概念．