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已知橢圓C的一個焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且|PF1|•|PF2|的最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件結(jié)合拋物線性質(zhì)求出c=1，由橢圓的定義結(jié)合不等式性質(zhì)求出a2=2，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），聯(lián)立
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）由拋物線y2=4x的準(zhǔn)線是x=-1，
得橢圓C的一個焦點(diǎn)是F1（-1，0），即c=1，
由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF1|•|PF2≤（
|PF1|+|PF2|
2
）2=a2，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=a時(shí)取等號，
∴a2=2，∴b2=a2-c2=1，
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的斜率為k，則其方程為y=k（x-2），
聯(lián)立
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
△=64k2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得k2＜
1
2
，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
則x1+x2 =
8k2
1+2k2
，x1•x2=
8k2-2
1+2k2
，
∵
OA
+
OB
=t
OP
，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x=
x1+x2
t
，y=
y1+y2
t
=
1
t
[k(x1+x2)-4k]=
-4k
t(1+2k2)
，
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴
(8k2)2
t2(1+2k2)2
+2×
(-4k)2
t2(1+2k2)2
=2，
整理，得16k2=t2（1+2k2），
又∵|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
，∴|
AB
|＜
2
5
3
，
∴
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
1+k2
•
[(x1+x2)2-4x1x2]
＜
2
5
3
，
∴(1+k2)[
64k4
(1+2k2)2
-4×
8k2-2
1+2k2
]＜
20
9
，
化簡，得56k4+38k2-13＞0，
解得k2＞
1
4
，
∴
1
4
＜k2＜
1
2
，
又∵16k2=t2（1+2k2），∴t2=
16k2
1+2k2
=8-
8
1+2k2
，
∵
1
4
＜k2＜
1
2
，
∴
8
3
＜t2＜4，
解得-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2，
∴所求實(shí)數(shù)的取值范圍是(-2，-
2
6
3
)∪(
2
6
3
，2)．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

2014年“霧霾”成為年度關(guān)鍵詞．霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài)，霧霾是對大氣中各種懸浮顆粒物含量超標(biāo)的籠統(tǒng)表述，尤其是PM2.5日均值（微克/立方米）（空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于等于2.5微米的顆粒物）被認(rèn)為是造成霧霾天氣的“元兇”． PM2.5日均值越小，空氣質(zhì)量越好．下面是國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的PM2.5日均值（微克/立方米）與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表：
PM2.5日均值
（微克/立方米）		 0--35 35--75 75--115 115--150 150--250 250以上
空氣質(zhì)量等級 1級優(yōu) 2級良 3級
輕度污染		 4級
中度污染		 5級
重度污染		 6級
嚴(yán)重污染
由全國重點(diǎn)城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得4月份某五天甲和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示如圖．
（Ⅰ）試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別計(jì)算兩城市的PM2.5日均值的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪個城市的空氣質(zhì)量較好？
（Ⅱ） 試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的概率；
（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個，試求這兩個城市空氣質(zhì)量等級相同的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2
．
（1）求角A的大小；
（2）若BC邊上高為1，求△ABC面積的最小值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不等式ax2-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞2}．
（1）求a的值；
（2）解關(guān)于x的不等式（c-x）（ax+2）＞0（c為常數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα=
3
4
，cos（α+β）=-
7
2
10
，且α∈（0，
π
2
），β∈（-
π
2
，
π
2
），
（1）求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(α+
π
4
)
的值； 
（2）求β的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x有且只有一個零點(diǎn)，其中a＞0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最大值；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）+x，對任意x1，x2∈（-1，+∞）（x1≠x2），證明：不等式
x1-x2
h(x1)-h(x2)
＞
x1x2+x1+x2+1
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大�。�
（2）求cos2A+cos2B的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過點(diǎn)A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)l與m垂直時(shí)，求證：直線l必過圓心C；
（2）當(dāng)|PQ|=2
3
時(shí)，求直線l的方程；
（3）求證：
AM
•
AN
是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某班級有4名學(xué)生被復(fù)旦大學(xué)自主招生錄取后，大學(xué)提供了3個專業(yè)由這4名學(xué)生選擇，每名學(xué)生只能選擇一個專業(yè)，假設(shè)每名學(xué)生選擇每個專業(yè)都是等可能的，則這3個專業(yè)都有學(xué)生選擇的概率是
 
．

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同步練習(xí)冊答案