Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x；
（1）若函數(shù)在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得f′（1）=2，解方程可求a；
（2）函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，等價(jià)于f′（x）≥0在[1，+∞）內(nèi)恒成立，分離參數(shù)后化為函數(shù)最值即可，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+3，
∵函數(shù)在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=2，即3-2a+3=2，解得a=2．
（2）∵函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
∴f′（x）≥0即3x²-2ax+3≥0在[1，+∞）內(nèi)恒成立，
∴a≤

3

2

（x+

1

x

），
而

3

2

(x+

1

x

)≥

3

2

•2

x• 1 x

=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴a≤3．

點(diǎn)評(píng)：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立，屬中檔題．